Cálculo y aplicaciones del porcentaje en el comercio

1- Introducción

En este tema estudiaremos las aplicaciones que tiene el cálculo de porcentajes en el comercio como, por ejemplo: descuentos, descuentos sobre descuentos, precio neto y precio final, cotizaciones legales como AFP y Salud, etc.

Nota: Para todos los cálculos que se realicen, se utilizarán valores truncados al segundo decimal sobre el resultado final y no en paso intermedios.

Ejemplos:

654,674 = 654,67 1.457,4 = 1.457,4 56.245,4899 = 56.245,48 423,003 = 423 25,10 = 25,1

 

Conceptos claves
Valor neto: Corresponde al precio de los bienes o servicios sin I.V.A
IVA: Es el impuesto al valor agregado.
Valor bruto o valor total: Es el precio de venta de los bienes o servicios al público.

 

2- Calculando Porcentajes:

Primero vamos a recordar cómo calcular porcentajes.

El $a\% de B=\frac{a}{100}·B$

Ejemplos:

a) Calcular: 40% de 150

$\frac{40}{100}·150\to \frac{2}{5}·150\to 2·30=60$

 

Finalmente el 40% de 150 es 60.

 

b) ¿De qué número es 35 el 70%?

 

$$\begin{gathered} 70\% de x=35 \\ \frac{70}{100} x=35 \\ \frac{7}{10} x=35 \\ 7x=350 \\ x=\frac{350}{7} \\ x=50 \end{gathered}$$

Luego el 70% de 50 es 35.

 

c) ¿Cuánto es el 15% del 30% de 1.700?

 

$$\begin{gathered} \frac{15}{100}·\frac{30}{100}·1 700 \\ =\frac{3}{20}·\frac{3}{10}·1 700 \\ =\frac{3·3·1.700}{20·10} \\ =\frac{15.300}{200} \\ =76,5 \end{gathered}$$

Entonces el 15% del 30% de 1.700 es 76,5

Note que los porcentajes no pueden sumarse, es decir que para el ejercicio anterior no es correcto buscar el 45% de 1.700, cuyo resultado es 630 y no 76,5 que es lo que se pide.
 

3- Cálculo del I.V.A.

El IVA es la abreviatura al Impuesto al Valor Agregado (IVA), cargo fiscal que rige sobre bienes o servicios y que es incorporado en toda transacción comercial, incidiendo, por tanto, en el precio de venta. …

Cada producto tiene un valor neto (valor sin impuesto), al cual se le agrega el IVA.

En Chile, el IVA corresponde al 19% del valor neto del producto.

Sabemos que el precio bruto es aquel que no se le ha agregado el I.V.A.

Luego:

$Precio Total=Precio Neto +19\% del Precio Neto$

Ejemplo:

a) El precio neto de un artículo es $15.990, ¿Cuál será el precio total?

1° Calculamos el 19% de $15.990. Esto es:

$\frac{19}{100}·15.990=\frac{19·15.990}{100}=\frac{303.810}{100}=3.038,1$

Luego el I.V.A es de $3.038,1

2° Al precio neto le sumamos el I.V.A. Esto es:

$15.990+3.038,1=\$19.028,1$

 

b) El precio total de un artículo es $225.000. ¿Cuál será el precio neto?

Planteamos los siguiente: Sea “x” el precio neto, entonces:

 

$$\begin{gathered} x+19\%x=225.000 \\ x+0,19x=225.000 \\ 1,19x=225.000 \\ x=\frac{225.000}{1,19}=189.075,63 \end{gathered}$$

Luego el precio neto es de $189.075,63

c)  El I.V.A. de un producto es de $4.500. ¿Cuál es el precio neto y total del producto?
Planteamos lo siguiente:

$$\begin{gathered} 19\% x=4.500 \\ 0,19x=4.500 \\ x=\frac{4.500}{0,19}=23.684,21 \end{gathered}$$

Luego entonces el precio neto es de $23.684,21

Ahora 23.684,21+4.500=28.184,21 que corresponde al precio final.

A continuación se muestra una boleta comercial de Chile, que muestra cómo se relaciona el precio neto, el impuesto (IVA) y el precio total.

 

 

4- Aplicaciones en el comercio

 

Sabemos que, en el comercio, el cálculo de porcentajes tiene variadas aplicaciones.

Ejemplo:

a) El precio de una calculadora es $12.400. Si se vende ganando el 10 % del costo más el 20 % del precio de venta, ¿cuál es su precio de venta?

Designaremos:

P.C.: Precio de costo: $12.400
P.V.: Precio de venta: ¿?
g: ganancia.

Podemos notar que la ganancia viene dada por la suma de dos cantidades, para lo cual planteamos:

$$\begin{gathered} g=10\% P.C.+20\% P.V. \\ P.V.=P.C.+g \\ 100\% P.V.=P.C.+10\% P.C.+20\%P.V. \\ 100\%P.V.–20\%P.V=100\%+10\%P.V. \\ 80\%P.V.=110\%P.C. \\ \frac{80}{100} P.V.=\frac{110}{100} P.C.\to P.V.=\frac{110}{100}·\frac{100}{80} P.C.\to P.V.=\frac{11}{8} P.C. \\ \to P.V.=\frac{11}{8}·12.400\to P.V.=17.050 \end{gathered}$$

Luego, entonces el precio de venta de la calculadora es de $17.050.

b) Dos celulares fueron vendidos en $150.000 cada uno, en el primero se ganó el 25 % y en el segundo se perdió el 25 % del costo. ¿Cuánto se ganó o perdió en esta transacción?

Vamos a determinar el precio de costo de cada celular, observemos que: 

Primer celular:

 

$$\begin{gathered} P.V_1.=P.C_1.+g \\ 150.000=P.C_1.+25\%P.C_1. \\ 150.000=125\%P.C_1. \\ \left(1\right) P.C_1.=\frac{150.000}{1,25}=120.000 \end{gathered}$$

Segundo celular: 

$$\begin{gathered} P.V_2.=P.C_2.+g \\ 150.000=P.C_2.–25\% P.C_2. \\ 150.000=75\%P.C_2. \\ \left(2\right) P.C_2.=\frac{150.000}{0,75}=200.000 \end{gathered}$$

Si sumamos (1) y (2) obtendremos el precio de costo de ambos celulares que será: $120.000 + $200.000 = $320.000

Ahora si sumamos los dos precios de venta se obtiene:

$\$150.000 + \$150.000 = \$300.000$

Luego podemos darnos cuenta de que el costo es mayor que la venta, por lo tanto, hay una pérdida de: $320.000 – $300.000 = $20.000, entonces, en la venta se perdió $20.000.

 

c) La producción en una fábrica de autos descendió un 20% con respecto al año anterior, por lo que solo se fabricaron 1.100 unidades. ¿En cuántas unidades descendió la producción con respecto al año anterior?

El 100% es la producción del año anterior.

La producción en este año es el 80%, que son 1100 unidades.

Queremos calcular el 20% del total:

 

Unidades producidas	%
1.100	80
x	20

Luego calculamos: 

$x=\frac{1.100·20}{80}=275$

Se fabricaron 275 autos menos que el año anterior.

 

d) Calcular el precio final de un televisor de $540.0000 y de un reloj de $12.500 si se les aplica un descuento del 15% y del 30%, respectivamente.

Si se aplica un descuento del 15%, pagaremos el 85% del precio inicial. Calculamos el precio final del televisor:

 

Precio	%
540.000	100
x	85

 

 

Luego:

 

$x=\frac{540.000·85}{100}=459.000$

 

Si se aplica un descuento del 30%, pagaremos el 70% del precio inicial. Calculamos el precio final del reloj:

 

Precio	%
12.500	100
x	70

 

Luego:

 

$x=\frac{12.500·70}{100}=8.750$

Luego el precio final del televisor y el reloj será: $459.000 y $8.750 respectivamente.

 

5- Descuentos sobre descuentos

Muchas veces en el comercio escuchamos en liquidaciones de fin de temporada, por ejemplo: Descuentos sobre descuentos, ahora veremos un ejemplo sencillo que nos va a permitir elegir entre dos descuentos consecutivos o simplemente uno.

 

 

Ejemplo 1:

En una casa comercial están liquidando la ropa de invierno.

Se tiene una chaqueta a $32.000, la tienda le hace un descuento del 20%, o sea:

$$\begin{gathered} 32.000–20\%·32.000 \\ \to 32.000–\frac{1}{5}·32.000 \\ \to 32.000–6.400 \\ \to 25.600 \end{gathered}$$

La chaqueta ahora cuesta $25.600 y la tienda ofrece el descuento sobre descuento de un 30%, Así:

$25.600–30\%·25.600\to 25.600–\frac{3}{10}·25.600\to 25.600–7.680\to 17.920$

Luego en esta modalidad el precio final de la chaqueta es de $17.920.

¿Esta modalidad del 20% y luego el 30% es más conveniente que hacer un descuento del 50%?

Veamos entonces:

$32.000–50\%·32.000\to 32.000–16.000\to 16.000$

 

Así la chaqueta queda a un precio final de $16.000

 

¿Qué conviene más?

Se comprueba entonces que aplicar una vez el 50% sobre los $32.000 de descuento es más conveniente que el 20% de $32.000 y luego el 30% de 25.600.

Veamos otro ejemplo:

A un computador le hacen un descuento del 25% y luego de un 35%. Su precio inicial es $499.000. Calculemos:

$499.000–25\%·499.000\to 499.000–\frac{1}{4}·499.000\to 499.000–124.750\to 374.250$

 

Ahora aplicaremos el 35% de descuento a $374.250. Esto es:

 

$374.250–35\%·374.250\to 374.250–\frac{7}{20}·374.250\to 374.250–130.988\to 243.262$

Luego de aplicar los dos descuentos el computador queda en $243.262

Ahora aplicaremos el 60% de descuento a $499.000. Esto es:

 

$499.000–60\%·499.000\to 499.000–\frac{3}{5}·499.000\to 499.000–299.400\to 199.600$

 

Luego de aplicar el descuento del 60% el computador queda en $199.600.

Así podemos concluir que es más económico calcular el porcentaje total al precio.