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Operaciones con números enteros

13 años > Matemática > Números

1- Suma y resta de números enteros

1.1. Representación de adiciones de números enteros en la recta numéricaRecuerda que para representar la suma de números naturales en la recta numérica se ubica uno de los sumandos y se avanza la cantidad de unidades que indica el otro sumando.

En el caso de los números enteros, se cuentan las unidades hacia la izquierda si el segundo sumando es negativo y, si es positivo, se cuentan las unidades hacia la derecha.Ejemplo: +4 + (-5)

Se ubica + 4 en la recta numérica y como 5 es negativo, se deben contar 5 unidades hacia la izquierda. La posición final corresponde a -1.

Ejemplo 2:  (-4) + (-5)

Primero, ubicamos -4 en la recta numérica y se cuentan 5 unidades hacia la izquierda.
La posición final es -9.

1.2- ¿Cómo resolver adiciones de números enteros de manera simbólica?

Para sumar dos números enteros:

Del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos.
Ejemplos:
4 +  8 = 12
(–7) + (–7) = –14
De distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos:
4 + (–8) = –4
(–3) +  5 = +2

1.3- Representación de sustracción de números enteros en la recta numérica

Para representar la sustracción en la recta numérica, primero que todo debes ubicar los números del minuendo y el sustraendo. Posteriormente, se cuentan las unidades que hay entre una cantidad y otra, siempre comenzando desde la posición del sustraendo.

Hay que considerar que el conteo hacia la derecha indica una cantidad positiva, mientras que el conteo hacia la izquierda indica una cantidad negativa.

Ejemplo: 2 -(-3)

Desde -3 (sustraendo)  hasta 2, hay 5 unidades de diferencia y como el conteo es hacia la derecha, el número tendrá signo positivo.Ejemplo 2: (-2) – +4

Desde 4 (sustraendo)  hasta -2, hay 6 unidades de diferencia y como el conteo es hacia la izquierda, el número tendrá signo negativo.

1.4- ¿Cómo resolver sustracciones de números enteros de manera simbólica?

Para restar dos números enteros:
Se suma al primero el opuesto del segundo.
(–5) – (–9) = (–5) + (+9) = = 4
5 – (–9) = 5 + (+9) =  14
2- Operaciones combinadas: suma y resta de números enteros
2.1- Para resolver operaciones como:
3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 – 10
Puedes resolverlas de dos formas distintas:
1.º Sumamos y restamos los números sucesivamente de izquierda a derecha.
3 – 4 + 5 – 6 + 7  – 8 -10
   -1   + 5 – 6 + 7  – 8 – 10
       +4     – 6 + 7 – 8 – 10
              -2      + 7 – 8 – 10
                   +5       – 8 -10
                           -3      -10
                               -13
2.º Sumamos, por un lado, los positivos, y por otro, los valores absolutos de los negativos, y restamos los resultados.
(3+5+7) – (4+6+8+10)
15       –         28
   -13
2.2- Para resolver operaciones como:
–20 + (7 – 10) – 6
1.º Eliminamos paréntesis:
–20 + (7 – 10) – 6
-20  + (-3) – 6
2.º Operamos de izquierda a derecha:
-20  -3 – 6
      -23 – 6
           –29
Resuelve y comprueba tu respuesta haciendo tres clic.
(15 – 25) + (8 + 8) – (6 + 9)
Comprueba tu respuesta:  –9
dato_max
– El signo menos delante de un paréntesis cambia los signos de los números de dentro del paréntesis.
Ejemplo: 
–3 + 5 – [5 – (3 – 4) + 2 –11]
–3 + 5 – [5 – 3 + 4 + 2 – 11]
–3 + 5 – (–3)
 –3 + 5 + 3
        5
3- Multiplicación y división de números enteros

 
3.1- Representación de multiplicaciones de números enteros en la recta numérica

Para representar multiplicaciones de números enteros positivos se puede realizar de la siguiente manera:

Ejemplo: (+4)

· (+2)

La multiplicación es una suma iterada, en este caso se suma 4 veces el número 2 comenzando desde 0. Si observas, el conteo va de 2 en 2
La posición final es +8.

Cuando se multiplica un número natural positivo por un número negativo, también se puede representar como suma iterada.

Ejemplo: 4

·(-2)

En este caso, la suma iterada  es:

4 • (-2) =  (-2) + (-2) + (-2) +(-2) = – 8

Primero, ubica el número 0 y suma 4 veces -2. Recuerda realizar el conteo comenzando desde 0 hacia la izquierda.
La posición final corresponde a -8.

1.4- ¿Cómo resolver de manera simbólica la multiplicación de números enteros?

Regla de los signos:

multiplicacion_division_racionales
3.1- Multiplicación:
– Se multiplican los valores absolutos y se pone el signo que corresponda según la regla de los signos.
Ejemplos:
a) 3 · (–10) = – 30

b) –5 · (–8) = + 40

c) –12 · 2 = – 24

d) 5 · 4 = 20

– El resultado de multiplicar cualquier número por –1 es el opuesto del número.
Ejemplos:
a) 4 · (–1) = –4

b) –1 · – 5 = 5

3.2. Representación de divisiones de números enterosPodemos representar gráficamente la división entre dos números positivos de la siguiente manera:

Ejemplo: 9 : 3

1- Trazar un segmento desde 0 hasta 9, que es la cantidad indicada en el dividendo.
2- Dividir la recta numérica según la cantidad que indique el divisor, es decir, en 3 segmentos de la misma medida.

3- Observar el número que se encuentra ubicado en la primera división como se indica en la imagen. En este caso es 3.

Para representar en la recta numérica la división de un número entero negativo por un número natural, se realiza un procedimiento similar al anterior:

Ejemplo: (-9) : 3

1- Trazar un segmento desde 0 hasta -9.
2- Dividir la recta numérica según la cantidad que indique el divisor, en este caso, 3 segmentos con la misma longitud.

3- Observar la ubicación del número en donde se encuentra la primera división. Dicho número corresponde al cociente de la división.

3.3- ¿Cómo resolver la división de números enteros de manera simbólica?

– Se dividen los valores absolutos y se pone el signo que corresponda según la regla de los signos.
Ejemplos:
a) 10 : (–5) =  – 2
b) –12 : (–2) = 6
c) -30  ÷ 5 =  – 6
d)  14 : 2 = 7
– El resultado de dividir cualquier número por –1 es el opuesto del número.
Ejemplo:
16 : (–1) = –16
4- Operaciones combinadas números enteros
Para resolver operaciones combinadas con números enteros se debe seguir este orden:
1.º Paréntesis.
2.º Multiplicaciones y divisiones.
3.º Sumas y restas.
Si hay varias operaciones del mismo nivel, se deben hacer de izquierda a derecha.
Resuelve y comprueba tu respuesta:

a) (–3 + 5)

·

(–3) : 2 + (–1 + 6)        Respuesta: 2

b) 12 : 2 : (–6 + 8)                             Respuesta: 3

5- Apliquemos lo aprendido

a) Si a=  13, b = – 25 y c = -72. ¿Cuál es el valor de a + b – c + b?
Para resolver el ejercicio se reemplazan los valores en la expresión y se obtiene lo siguiente:

 

a   +       b   –      c     +   b13 +(-25)  – (-72)  + (-25)    -12

*Recuerda que debes hacer el cambio de signo cuando realizas una resta.

13 + (-25) – (-72) + (-25)        -12      +     72    + -25                        60           +  -25 = 35

b) El producto de dos números enteros es -96. Si un factor es 4, ¿cuál es el otro factor?
Para resolver este ejercicio, se puede plantear de la siguiente manera:

x · 4 = -96

Ahora, aplicamos la operación contraria de la multiplicación para resolver el ejercicio, es decir, dividimos -96: 4.

-96 : 4 = -24

Podemos verificar si es correcto multiplicando

-24 · 4 = 96

Respuesta: El otro factor es -24.

c) Si al producto de 4 por –4 se le resta  el producto de 6 por –6, entonces el resultado obtenido es igual a:

Al traducir a lenguaje matemático el enunciado, tenemos:

4 · -4 – (6 · -6)

Lo resolvemos:

4 · -4 – (6 · -6)   -16   – (-36)    -16   +    36               20

d) Si  6 se multiplica por –5 y se divide entre –1. ¿Cuál es el inverso aditivo del resultado?

Resolvemos el ejercicio planteado:

6 · -5 : -1  -30   : -1 = 30

Ahora, determinamos el inverso aditivo de 30. Recordemos que el inverso aditivo es el número opuesto, en este caso es -30.

Respuesta: El inverso aditivo es -30.

e) Al resolver 

-24 : 2 – (-2· -4) ·-3

se obtiene:

Para resolver este tipo de ejercicios debes tener en cuenta la prioridad de las operaciones y realizar los ejercicios que están en los paréntesis más internos.

Paso 1:

-24 : 2 – (-2· -4) ·-3                             8

Paso 2:

-24 : 2 – (-2· -4) ·-3      -12   –        8

Paso 3:

-24 : 2 – (-2· -4) ·-3     -12    –       8            -20

Paso 4:

-24 : 2 – (-2· -4) ·-3         -12 –       8                   -20                 ·-3  = 60

f) Si n, m son números enteros, n es el antecesor de m y -8 es el sucesor de m, ¿cuál es el sucesor de (n • m)?
Para resolver el ejercicio recordemos que el antecesor de un número es el que se encuentra inmediatamente a la izquierda de él en la recta numérica. Mientras que el sucesor es el que está inmediatamente a la derecha.

Según los datos que nos entregan, -8 es el sucesor de m, entonces m es -9. También se menciona que n es el antecesor de m= el antecesor de -9 es -10.

A continuación, reemplazamos los valores en la expresión:

(n · m)(-10 · -9) = 90

Por último, determinamos el sucesor de 90. El número entero que está inmediatamente a la derecha de 90 en la recta numérica es 91.

Respuesta: El sucesor es 91.

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Fecha de publicación: 05/14/2024

Última edición: 06/05/2024

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