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Números complejos y su relación con los numeros imaginarios

16 años > Matemática > Números complejos

1- Introducción

Un día, Florencia tuvo que resolver la siguiente ecuación: x2=1

Ella se preguntó ¿Cómo un número al cuadrado puede ser negativo?

De esta forma, cuando llegó a clases, le preguntó a su profesor por la solución de esa ecuación. A lo que él le respondió:

“¿Cuándo una ecuación no tiene solución en el conjunto numérico que estamos trabajando?”

A continuación, el profesor les fue mostrando lo siguiente:

¿Qué pasa si trabajamos en =1,2,3. (conjunto de números naturales), y debes resolver la siguiente ecuación?

x+1=0

Claramente esta ecuación no tiene solución en N, luego surge el conjunto de los números enteros,.,3,2,1,0,1,2,3., donde:

x+1=0x=1

Ahora, ¿Qué pasará en el conjunto de los números enteros con esta ecuación?

2x=1

Aquí, aparece el conjunto de los números racionales (), que da solución a la ecuación anterior, esto es x=12.

Luego tenemos dos tipos de ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números racionales, que son las de solución del tipo:

x=2,34562109 

  
y las del tipo

x2=2x=±2, sabiendo que 2=1,414213562

O sea, aquellas que tienen infinitos decimales (no periódicos ni semiperiódicos).

Aquí nace el conjunto de los números irracionales (Q*).

Todos estos conjuntos numéricos que has estudiado hasta ahora, reciben el nombre de “Conjunto de Números Reales” .

 

1.1 “Representación de los Números Reales”

 

 

 
Explicado este esquema del conjunto de los números reales, Florencia preguntó: ¿Qué significa la que está arriba?

Ahora el profesor le mostró la ecuación que ella llevó a la clase, que es:

x2=1

que tendría como solución: 

x=1

Aquí nace el “Conjunto de los Números Complejos () que incluye la unidad imaginaria como 1 que se representa con la letra i.

2. “Conjunto de los Números Complejos”

Resolvamos las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales:

Recordemos que una ecuación cuadrática es de la forma:

ax2+bx+c=0 x=b±b24ac2a donde 

Donde=b24ac , llamado discriminante y en el conjunto de los números complejos, cantidad subradical

 

Aquí teníamos los siguientes casos:

Si  >0 la ecuación tenía dos soluciones reales y distintas.
Si  =0 la ecuación tiene 1 solución real.

Si  <0 la ecuación no tiene soluciones reales es aquí donde comenzamos a estudiar los números imaginarios y complejos.

Resolvamos:

1)    x22x+5=0; donde a=1b=2 y c=5

 

x=+2±224·1·52·1x=2±4202

 

x1=2+162    x2=2162

 

En esta ecuación tenemos dos soluciones complejas y distintas.

 

¿De qué otra forma podemos escribir estas soluciones?

Recordemos quei=1 ; entonces 16=116 luego aplicamos la notación utilizando la unidad imaginaria: 4i 

Luego las soluciones x1=2+4i2 ∧ x2=24i2; simplificamos y nos queda:

x1=1+2i ∧ x2=12i

 

2)    x2+x+1=0; donde a=1;b=1 y c=1

 

x=1±124·1·12·1x=1±142

 

x=1±32   luego,   3=3·1=3i

 

x1=1+3i2x2=13i2

 

 

2.1 Partes de un Número Complejo

Un número complejo, como vimos en el primer ejemplo, tiene como solución 1-2i. Este número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, que son:

  • Parte real: 1
  • Parte imaginaria -2

Podemos entonces generalizar que un número complejo cualquiera es de la forma: z=a+bi ; donde “a” es la parte real de z y el número real “b” se llama la parte imaginaria de z.

Por ahora veremos dos formas de escribir un número complejo:

Forma Binomial: a+bi   y como Par Ordenado: (a,b)

Algunos números complejos pueden ser reales e imaginarios a la vez. Por ejemplo:

                                                    

        

2.2 ¿Qué pasa con el 0?
Es un número complejo cuya parte real e imaginaria son 0;
Si un número tiene su parte imaginaria es 0 significa que es un número real, luego, el 0 es un numero real, imaginario y complejo.

2.3 Representación de un número complejo.

Un número complejo cualquiera lo denotaremos como z=a+bi ; donde ya dijimos que:
a es la parte real y se anota: Re(z)=a  y b es la parte imaginaria y lo anotaremos Im(z)=b

Esto significa que el eje X corresponde a los números reales y el eje Y corresponde a la parte imaginaria.

Ejercitemos un poco: Completaremos en rojo la siguiente tabla:

 

Número complejo z Re (z) Im (z)
z=3+2i 3 2
z=62i 6 2
z=5i 0 5
z=7+0i=7 7 0
z=34i 3 4

Como vimos anteriormente, una forma de escribir un número complejo es como par ordenado, por lo que se pueden representar en el plano cartesiano, ya que el eje X corresponde a la parte real e Y corresponde a la parte imaginaria:

 

Ejercicio: Escribe en forma binomial y luego representa cada número complejo en el plano cartesiano

a)z1=62i=(6,2)
b) z2=26i=(2,6)
c) z3=1+6i=(1,6)

 

2.4 Igualdad de números complejos

Dos números son iguales cuando tienen sus partes reales e imaginarias iguales, esto es:

z1=a+bi  y  z2=c+di ,donde a,b,c,dz1=z2a=cy b=d

 

Ejemplos:
1.- Determina el valor de a para que z1:a+5i=z2:3+5i

Aquí:

z1=z2a=3

2.- Determina los valores de a y b para que z1:7+ai=z2:b1i

Aquí:

z1=z2b=7 y a=1

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Fecha de publicación: 06/03/2024

Última edición: 06/04/2024

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