Media, moda, mediana y rango para datos agrupados

1- Media aritmética para datos agrupados 

Se calcula sumando todos los productos de marca clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos:

 

 

La marca clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio de los extremos de cada intervalo.

 

 

 

2- Moda

Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. En tablas de frecuencias con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal. La moda se representa por  Mo.
 

2.1- Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L_i Extremo inferior del intervalo modal  (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta).
f_i  Frecuencia absoluta del intervalo modal.
f_i-1  Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.
f_i+1  Frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.
t_i  Amplitud de los intervalos.

 

2.2 Si los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

h_i= f_i/ t_i

 

Donde:
h_i: altura correspondiente a cada intervalo.
f_i: Frecuencia absoluta del intervalo (también se puede utilizar la frecuencia acumulada o relativa).
t_i: Amplitud de los intervalos.

Luego la clase modal es la que tiene mayor altura.

 

 

3- Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2

Luego calculamos según la siguiente fórmula:

 

L_i-1  es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N / 2  es la semisuma de las frecuencias absolutas.
F_i-1  es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
fi  es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
t_i  es la amplitud de los intervalos.

Ahora veamos un ejemplo:

– En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de personas.
 

1° Calculemos la media aritmética:

 

$\overline{\mathrm{X}} =\frac{5·3+15·6 + 25·7 +35·12+45·3}{31}=$

 

$\overline{\mathrm{X}} =\frac{15+90 + 175 +420+135}{31}= \frac{835}{31} = 26,94$

 

$\overline{\mathrm{X}} = 26,94$

 

 

2° Ahora calculemos la mediana (Me) según las fórmulas explicadas más arriba:

Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana. Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2

en este caso N / 2 =  31 / 2  ⇒ 15,5

 

Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (F_i ) contenga el valor obtenido  (15,5).

Veamos:

 

Ahora reemplazamos los datos en la fórmula:

 

$Me=20 + \frac{15,5 – 9}{7} · 10$

$Me=20 + 929$
 

$Me= 29,285$

 

Recuerda:

L_i-1: es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana, en este caso el límite inferior es 20.
N / 2: es la semisuma de las frecuencias absolutas, en este caso es 15,5.
F_i-1: es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana, en este caso es 9.
fi: es la frecuencia absoluta del intervalo mediano, en este caso es 7
t_i : es la amplitud de los intervalos. Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo, en este caso es: 30 – 20 = 10

 

3° Calculemos la moda M_o :

Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal:

 

 

Ahora podemos reemplazar los datos en la fórmula:

 

$=30 + \frac{12 – 7}{(12 – 7) + (12 – 3)} ·10$

$Mo=30 + 3,57$

$Mo=33,6$

 

– Si la moda está en el primer intervalo, entonces f_i-1= 0. Si la moda está en el último intervalo, entonces f_i+1= 0.

– Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).

 

 

– Guía estadística