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Círculo y circunferencia: área, perímetro y longitud

13 años > Matemática > Geometría

1- Longitud de la circunferencia

Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de la rueda.

 

¿Cuántas veces está contenido el diámetro en su perímetro?

 

2- Perímetro del círculo

Lee la siguiente situación:

Ignacio midió el diámetro y la longitud del contorno de tres objetos cilíndricos con una huincha métrica.

Sus resultados los registró en una tabla:

 

A partir de sus registros, se puede observar que la longitud de la circunferencia es aproximadamente el triple que el diámetro en todos los casos y el cociente aproximado es entre 3,1 y 3,2.

El cociente entre el perímetro y el diámetro de un círculo recibe el nombre de π (pi) y su valor aproximado es 3,14.
 

Mediante esta fórmula, se puede despejar el valor de la longitud de la circunferencia quedando:

 

 

Por lo tanto, para calcular el  perímetro de un círculo se multiplica el diámetro  por π

 

Como el diámetro es igual a dos radios, también se puede decir que el perímetro del círculo es igual a 2· r ·π.

 

 

Veamos algunos ejemplos:
1- Calcular el perímetro de un círculo de radio 6 cm.

En este caso, podemos emplear la fórmula:

2r · π

Al reemplazar los valores obtenemos lo siguiente:

P =2r · πP = 2·6 ·πP = 12 π cm

Entonces, el perímetro de un círculo de radio 6 cm es de 12 π cm.

 

2-  Calcular el perímetro de un círculo de radio 4 cm. Considera π =3,14.

Reemplazamos los datos en la fórmula:

P =2r · πP =2 · 4 ·3,14P =25,12 cm

 

3- Calcular el perímetro de un círculo, cuyo diámetro es de 6 cm. Considera π = 3,14.

En este caso podemos emplear la fórmula:

P =d · πP =6 · 3,14P =18,84 cm

 

4- Si el perímetro de un círculo mide 56,52 cm, ¿cuál es la medida del diámetro? Considera π =3,14.
Para determinar la medida del diámetro, se puede utilizar la fórmula del perímetro del círculo y reemplazar los valores conocidos:

P = π · d  P : π 56,52 =3,14 · d56,52 : 3,14 =18

Entonces el valor del diámetro es 18 cm.

 

3- Área del círculo

¿Cómo estimar el área de un círculo?

Estrategia 1: El área del círculo se puede estimar estableciendo una relación con el área de otra figura geométrica que hayas trabajado con anterioridad. En este caso, se aplicará la fórmula del área del cuadrado.

Ejemplo: El círculo está inscrito en un cuadrado de lado 10 cm. ¿Cuál es el área aproximada del círculo?
 

Para conocer el área aproximada del círculo, cuenta los cuadrados que están contenidos completamente en el interior del círculo. En este caso son 60 cuadrados.

 

A continuación, calcula el área del cuadrado.

 

 

El cuadrado tiene en su interior 100 cuadrados, por lo tanto, su área es de 100 cm2.

Entonces, el área estimada del círculo es un número mayor que 60 cm2 y menor que 100 cm2.

 

Estrategia 2:

Estimar el área de un círculo en comparación con el cuadrado inscrito y circunscrito.
El radio del círculo es de 3 cm y el lado del cuadrado circunscrito mide 6 cm.

 

 

El área del cuadrado grande se puede expresar como 4r2, ya que la medida del radio corresponde al lado de cada cuadrado pequeño.
 

El cuadrado grande tiene un área de 36 cm2.

El área del paralelogramo celeste corresponde a la mitad del área del cuadrado grande, por lo tanto, su área se puede expresar como 2r2.

 

 

Entonces, el área del círculo es mayor que 18 cm2 y menor que 36 cm2.
Si el área del cuadrado grande se relaciona con 4r2  y el del inscrito a 2r2, entonces el área del círculo se puede aproximar a 3r2.

 

Por lo tanto, el área del círculo es aproximadamente 27 cm2.

De acuerdo a la situación anterior, se puede establecer que el área del círculo se calcula multiplicando 3 por el radio elevado al cuadrado. Sin embargo, el valor más próximo es π.

Entonces, el área del círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi = p · r2.

 

 

Ejemplos:

1- Calcular el área de un círculo de radio 5 cm.

Para calcular el área de un círculo utilizamos la expresión:

A =π · r2

Reemplazamos los valores en la fórmula:

A =π · r2A = π · 52A = 25π  cm2

2- Calcular el área de un círculo de radio 9 cm. Considera π = 3,14.

Reemplazamos los valores en la fórmula:
 

A =π · r2A =3,14 ·92A = 3,14 · 81A = 254,34 cm2

3- Calcular el área de un círculo de radio 1,5 cm. Considera π =3,14.

Reemplazamos los valores en la fórmula:

A =π · r2A = 3,14 · 1,52A = 3,14 ·2,25A = 7,065 cm2

 

 

 

4- Ejercicios resueltos de área del círculo (Libro del Ministerio Matemática Texto del Estudiante edición 2018, página 273)

A continuación se presentan dos ejercicios del área del círculo:

1- Calcular el área de la zona achurada.

 

Paso 1: Calcular el área del círculo grande, su radio es de 17 cm.

π· r23, 14 · 172 3, 14 · 289 =907,46 cm2
Paso 2: Calcular el área del círculo de radio 10 cm.

π· r23, 14 · 102 3, 14 · 100 =314 cm2

Paso 3: Calcular el área del círculo de radio 7 cm.
π· r23, 14 · 72 3, 14 · 49 =153,86 cm2

 

Paso 4: Restarle al círculo de radio 17 cm, el área de los círculos de radio 7cm y 10 cm.

907, 46  314  153,86439,6 cm2

 

2- Calcular el área de la zona achurada.

Paso 1: Calcular el área del círculo grande, su radio es de 5 cm. Luego, se divide el resultado por 2 (en la imagen se aprecia la mitad de un círculo).

π· r23, 14 · 52 3, 14 · 25 =78,5 cm2

 

78, 5 : 2 =39,25 cm2

 

Paso 2: Calcular el área del círculo de diámetro 5 cm (su radio es la mitad = 2,5).  Luego, se divide por 2.

π· r23, 14 · 2,52 3, 14 · 6,25 = 19,625 cm2

 

19,625 : 2 =9,8125 cm2

 

Paso 3: Calcular el área del círculo de diámetro 3 cm (su radio es la mitad = 1,5).  Luego, se divide por 2.

.π· r23, 14 · 1,52 3, 14 · 2,25 = 7,065 cm2

7,065 : 2 =3,5325 cm2

 

Paso 4: Calcular el área del círculo de diámetro 2 cm (su radio es la mitad = 1).  Luego, se divide por 2.

π· r23, 14 · 12 3, 14 · 1 = 3,14 cm2

 

3,14 : 2 =1,57 cm2

 

Paso 5: Restarle al área de círculo de radio 5, la mitad del área del círculo de radio 2,5.

39,25  9,8125 =29,4375 cm2

 

Paso 6: Sumarle a 29,4375 la mitad de las áreas de los círculos de diámetro 3 cm y 2 cm.

 

29,4375 + 3,5325 + 1,57 = 34,54 cm2

 

5- Resolución de problemas

Situación 1:

Nuestro planeta tiene una forma casi esférica achatada por los polos y más ancha en su zona ecuatorial. A esta particular forma se le denomina geoide.

La Tierra es representada en globos terráqueos y planisferios, ambos están rodeados de líneas imaginarias muy finas que van de un polo al otro polo (de Norte a Sur), llamadas meridianos, y otras que son circunferencias menores llamadas paralelos que van de Este a Oeste.

Existen 90 paralelos hacia el norte e igual número hacia el Sur. Los paralelos más importantes son cuatro, en el hemisferio Norte se ubican el Trópico de Cáncer y el Círculo Polar Ártico, en el hemisferio Sur tenemos el Trópico de Capricornio y el Círculo Polar Antártico.
 

De acuerdo a los datos sobre el planeta Tierra, el radio ecuatorial es de 6 378 km y el radio polar es de 6 357 km.

 

1. Con relación a los datos presentados. Calcula la medida de la línea del Ecuador.

Recuerda que para calcular el perímetro se puede multiplicar el valor del diámetro por π. Se considerará π = 3,14

P =d · πP =12 756 · 3,14P = 40 053,84

Respuesta: La medida de la línea del Ecuador es de 40 053,84 km aproximadamente.

Situación 2:

El riego por pivote central capta el agua desde un embalse, río o lago y a través de cañerías se transporta el agua hasta la torre central.  El agua es distribuida a los aspersores que riegan el terreno formando patrones circulares como se muestra en la imagen.

 

 

1- Si en un terreno se utiliza el método de riego por pivote como se representa en la imagen. ¿Cuál es la superficie del terreno que se regó?

 

 

 

En este caso, se calcula el área del círculo empleando la fórmula, considera π = 3,14

A =π·r2A = 3,14 · 1002A = 3,14 · 10 000A = 31 400

Respuesta: La s

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Fecha de publicación: 06/03/2024

Última edición: 06/04/2024

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